
          .md # Αντίστροφο προβλήματος Frobenius-Perron

*Αντλώντας ντετερμινιστικά μοντέλα από ένα νέφος τυχαιότητας*

Αντίστροφο προβλήματος Frobenius-Perron

*Αντλώντας ντετερμινιστικά μοντέλα από ένα νέφος τυχαιότητας*


           .md ## Εισαγωγή

Εισαγωγή


           .md ### Το πρόβλημα Frobenius-Perron

Ας φανταστούμε ότι έχουμε ένα δυναμικό σύστημα που δέχεται μια είσοδο, την επεξεργάζεται με κάποιον τρόπο και κατόπιν το αποτέλεσμα το επανυποβάλλει για επεξεργασία στον εαυτό του. Θεωρώντας ότι μιλάμε για μετρήσημα μεγέθη, μπορούμε να πούμε ότι:

- δέχεται μια είσοδο έναν αριθμό $x\in\mathbb{R}$,
- αυτόν τον επεξεργάζεται μέσω μιας πραγματικής συνάρτησης $s$, οπότε τον μετατρέπει στον $s(x)$,
- το παραπάνω αποτέλεσμα το επεξεργάζεται ξανά, οπότε παράγει το νέο εξαγόμενο $s(s(x))\overset{ορ.}{=}s^{\circ 2}(x)$,
- αυτή την έξοδο την επεξεργάζεται και πάλι, παράγοντας μια νέα τιμή $s(s(s(x)))\overset{ορ.}{=}s^{\circ 3}(x)$,
- ...

Λόγω των παραπάνω, στο εξής ένα δυναμικό σύστημα που επεξεργάζεται μια είσοδό του μέσω μιας συνάρτησης $s$, θα το αποκαλούμε **$s$-δυναμικό σύστημα**.

Αν το δυναμικό σύστημα είναι χαοτικό, τότε επιδιώκουμε να βάλουμε μια τάξη στο χάος επιχειρώντας να βρούμε μια στατιστική ομοαλότητα στις τιμές που παράγει. Αυτό είναι το πρόβλημα Frobenius-Perron, δηλαδή το να βρούμε μια συνάρτηση κατανομής $F$ που να περιγράφει πιθανοκρατικά τη συμπεριφορά του συστήματος. Θυμίζουμε ότι:

$$
F(x)=\mathbb{P}(\text{τιμές του συστήματος}\leq x).
$$

Ορίζοντας ως $f$ την πυκνότητα πιθανότητας και θεωρώντας ότι η $s$ είναι τμηματικά λεία και ορισμένη σε διάστημα $I$, η απάντηση στο πρόβλημα Frobenius-Perron έρχεται μέσα από τη λύση της συναρτησιακής εξίσωσης:

$$
f(x)=\int_I f(t)\delta\left(x-s(t) \right)d t
$$

όπου $\delta$ η συνάρτηση Dirac.

Το πρόβλημα Frobenius-Perron

Ας φανταστούμε ότι έχουμε ένα δυναμικό σύστημα που δέχεται μια είσοδο, την επεξεργάζεται με κάποιον τρόπο και κατόπιν το αποτέλεσμα το επανυποβάλλει για επεξεργασία στον εαυτό του. Θεωρώντας ότι μιλάμε για μετρήσημα μεγέθη, μπορούμε να πούμε ότι: - δέχεται μια είσοδο έναν αριθμό $x\in\mathbb{R}$, - αυτόν τον επεξεργάζεται μέσω μιας πραγματικής συνάρτησης $s$, οπότε τον μετατρέπει στον $s(x)$, - το παραπάνω αποτέλεσμα το επεξεργάζεται ξανά, οπότε παράγει το νέο εξαγόμενο $s(s(x))\overset{ορ.}{=}s^{\circ 2}(x)$, - αυτή την έξοδο την επεξεργάζεται και πάλι, παράγοντας μια νέα τιμή $s(s(s(x)))\overset{ορ.}{=}s^{\circ 3}(x)$, - ... Λόγω των παραπάνω, στο εξής ένα δυναμικό σύστημα που επεξεργάζεται μια είσοδό του μέσω μιας συνάρτησης $s$, θα το αποκαλούμε **$s$-δυναμικό σύστημα**. Αν το δυναμικό σύστημα είναι χαοτικό, τότε επιδιώκουμε να βάλουμε μια τάξη στο χάος επιχειρώντας να βρούμε μια στατιστική ομοαλότητα στις τιμές που παράγει. Αυτό είναι το πρόβλημα Frobenius-Perron, δηλαδή το να βρούμε μια συνάρτηση κατανομής $F$ που να περιγράφει πιθανοκρατικά τη συμπεριφορά του συστήματος. Θυμίζουμε ότι: $$ F(x)=\mathbb{P}(\text{τιμές του συστήματος}\leq x). $$ Ορίζοντας ως $f$ την πυκνότητα πιθανότητας και θεωρώντας ότι η $s$ είναι τμηματικά λεία και ορισμένη σε διάστημα $I$, η απάντηση στο πρόβλημα Frobenius-Perron έρχεται μέσα από τη λύση της συναρτησιακής εξίσωσης: $$ f(x)=\int_I f(t)\delta\left(x-s(t) \right)d t $$ όπου $\delta$ η συνάρτηση Dirac.


                           .md ### Το αντίστροφο του προβλήματος Frobenius-Perron

Όπως εύλογα μπορεί να υποθέσει κανείς, το αντίστροφο του παραπάνω προβήματος συνίσταται στο να έχουμε διαθέσιμη μια κατανομή $F$ και να ψάχνουμε τη συνάρτηση $s$, η οποία να παράγει αριθμούς που να κατανέμονται βάσει της $F$.

Αυτό είναι ένα άκρως ενδιαφέρον πρόβλημα, αν σκεφτούμε ότι έχοντας ένα τυχαίο φαινόμενο μπορούμε, λύνοντας αυτό το πρόβλημα, να βρούμε το ντετερμινιστικό μοντέλο διέπει το φαινόμενο αυτό. Θα πει κάποιος τώρα «Αφού το σύστημα είναι χαοτικό, η $s$ μάς είναι τελείως άχρηστη. Τι μας ενδιαφέρει ένας γιαλαντζί ντετερμινισμός;». Δεν είναι όμως έτσι. Το ντετερμινιστικό μοντέλο δείχνει τη δομή του συστήματος και προσφέρεται για ουσιαστική θεωρητική μελέτη.

Φυσικά, τα πράγματα δεν είναι τόσο ρόδινα, όσο υποννοεί η τελευταία περίοδος. Έχοντας την $F$ δεν βρίσκουμε αποκλειστικά μία συνάρτηση $s$, αλλά μια ποικιλία ντετερμινιστικών μοντέλων. Το υπό ποιες συνθήκες θα μπορούσαμε να βρούμε μία ακριβώς συνάρτηση $s$, αυτή τη στιγμή διαφεύγει από το μυαλό του γράφοντος. Προς το παρόν, λοιπόν, θα συμβιβαστούμε με αυτό το βαθμό απροσδιοριστίας της $s$.

Ας πάμε τώρα να λύσουμε το πρόβλημά μας!

Το αντίστροφο του προβλήματος Frobenius-Perron

Όπως εύλογα μπορεί να υποθέσει κανείς, το αντίστροφο του παραπάνω προβήματος συνίσταται στο να έχουμε διαθέσιμη μια κατανομή $F$ και να ψάχνουμε τη συνάρτηση $s$, η οποία να παράγει αριθμούς που να κατανέμονται βάσει της $F$. Αυτό είναι ένα άκρως ενδιαφέρον πρόβλημα, αν σκεφτούμε ότι έχοντας ένα τυχαίο φαινόμενο μπορούμε, λύνοντας αυτό το πρόβλημα, να βρούμε το ντετερμινιστικό μοντέλο διέπει το φαινόμενο αυτό. Θα πει κάποιος τώρα «Αφού το σύστημα είναι χαοτικό, η $s$ μάς είναι τελείως άχρηστη. Τι μας ενδιαφέρει ένας γιαλαντζί ντετερμινισμός;». Δεν είναι όμως έτσι. Το ντετερμινιστικό μοντέλο δείχνει τη δομή του συστήματος και προσφέρεται για ουσιαστική θεωρητική μελέτη. Φυσικά, τα πράγματα δεν είναι τόσο ρόδινα, όσο υποννοεί η τελευταία περίοδος. Έχοντας την $F$ δεν βρίσκουμε αποκλειστικά μία συνάρτηση $s$, αλλά μια ποικιλία ντετερμινιστικών μοντέλων. Το υπό ποιες συνθήκες θα μπορούσαμε να βρούμε μία ακριβώς συνάρτηση $s$, αυτή τη στιγμή διαφεύγει από το μυαλό του γράφοντος. Προς το παρόν, λοιπόν, θα συμβιβαστούμε με αυτό το βαθμό απροσδιοριστίας της $s$. Ας πάμε τώρα να λύσουμε το πρόβλημά μας!


                               .md ## Μέθοδος Koga

Η πρώτη μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε παρουσιάζεται στο: 

*S. Koga, The inverse problem of Frobenius-Perron equations in 1D different systems, Progress of Theoretical Physics, Vol. 86, No. 5, 1991.*

Σύμφωνα με αυτήν διαθέτουμε μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $φ$ και ψάχνουμε τη συνάρτηση $s:[0,1]\to[0,1]$ του δυναμικού συστήματος με την ιδιότητα $s(0)=0$ κι επίσης:

- $s(1-x)=s(x)$ (τύπου Ι)
- $s(x+\frac{1}{2})=s(x)$ (τύπου ΙΙ)

Έτσι, για να παράγουμε μια λύση τύπου Ι, λύνουμε την εξίσωση:

$$
\int_{0}^{s(x)}f(z)dz=\int_0^x\left(f(z)+f(1-z)\right)dz,
$$

ενώ για να παράγουμε μια λύση τύπου ΙΙ, λύνουμε την εξίσωση:

$$
\int_{0}^{s(x)}f(z)dz=\int_0^x\left(f(z)+f(z+\frac{1}{2})\right)dz.
$$

Σημειωτέον ότι τα παραπάνω τα μελετάμε για  $x\in (0,\frac{1}{2})$. Οι υπόλοιπες τιμές προκύπτουν βάσει συμμετρίας.

Εν προκειμένω θα χρησιμοποιήσουμε την $f(x)=2x$. Έτσι, λύνοντας την εξίσωση για την περίπτωση που η $s$ είναι τύπου Ι έχουμε για $x\leq \frac{1}{2}$:

Μέθοδος Koga

Η πρώτη μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε παρουσιάζεται στο: *S. Koga, The inverse problem of Frobenius-Perron equations in 1D different systems, Progress of Theoretical Physics, Vol. 86, No. 5, 1991.* Σύμφωνα με αυτήν διαθέτουμε μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $φ$ και ψάχνουμε τη συνάρτηση $s:[0,1]\to[0,1]$ του δυναμικού συστήματος με την ιδιότητα $s(0)=0$ κι επίσης: - $s(1-x)=s(x)$ (τύπου Ι) - $s(x+\frac{1}{2})=s(x)$ (τύπου ΙΙ) Έτσι, για να παράγουμε μια λύση τύπου Ι, λύνουμε την εξίσωση: $$ \int_{0}^{s(x)}f(z)dz=\int_0^x\left(f(z)+f(1-z)\right)dz, $$ ενώ για να παράγουμε μια λύση τύπου ΙΙ, λύνουμε την εξίσωση: $$ \int_{0}^{s(x)}f(z)dz=\int_0^x\left(f(z)+f(z+\frac{1}{2})\right)dz. $$ Σημειωτέον ότι τα παραπάνω τα μελετάμε για $x\in (0,\frac{1}{2})$. Οι υπόλοιπες τιμές προκύπτουν βάσει συμμετρίας. Εν προκειμένω θα χρησιμοποιήσουμε την $f(x)=2x$. Έτσι, λύνοντας την εξίσωση για την περίπτωση που η $s$ είναι τύπου Ι έχουμε για $x\leq \frac{1}{2}$:


                                              Clear["Global`*"]
f[x_] := 2x
eq1 = Integrate[f[t],{t,0,s1}]==Integrate[f[t]+f[1-t],{t,0,x}];
Solve[eq1,s1]


                                              .md Κρατάμε τη μη αρνητική εκδοχή ($s_1(x)=\sqrt{2x}$) κι εξάγουμε τον τύπο της $s$ (έστω $s_2$) για $x>\frac{1}{2}$ μέσω της αξονικής συμμετρίας πέριξ της $x=\frac{1}{2}$. Οπότε έχουμε $s_2(x)=s_1(1-x)$. Ακολουθεί η γραφική παράσταση της $s$.

Κρατάμε τη μη αρνητική εκδοχή ($s_1(x)=\sqrt{2x}$) κι εξάγουμε τον τύπο της $s$ (έστω $s_2$) για $x>\frac{1}{2}$ μέσω της αξονικής συμμετρίας πέριξ της $x=\frac{1}{2}$. Οπότε έχουμε $s_2(x)=s_1(1-x)$. Ακολουθεί η γραφική παράσταση της $s$.


                                               s[x_] := Which[x<=1/2,Sqrt[2x],x>1/2,Sqrt[2(1-x)]]
Plot[s[x],{x,0,1}, PlotRange->{{0,1},{0,1}}]


                                               .md Ακολουθεί το διάγραμμα König-Lémeray της παραγόμενης ακολουθίας, για αρχική τιμή $x_0=0.1$ και $50$ επαναλήψεις.

Ακολουθεί το διάγραμμα König-Lémeray της παραγόμενης ακολουθίας, για αρχική τιμή $x_0=0.1$ και $50$ επαναλήψεις.


                                                n = 100; (* Αριθμός επαναλήψεων *)

koeningLemeray[ff, x0_] := 
  Module[{ff, seq, p, colors}, 
  (*Εδώ ο τύπος της συνάρτησης*)
      (*Εδώ ο τύπος της συνάρτησης*)
    seq = NestList[ff, x0, n];
    p = Partition[seq, 2, 1];
    colors = ColorData["SunsetColors"] /@ 
      Rescale[Range[Length[p]], {1, Length[p]}]; (* Αντιστοίχιση χρωμάτων *)

    Plot[{Style[ff[x], Red], Style[x, Blue]}, {x, 0,1}, 
      PlotRange -> All,Background -> Lighter[Gray],
      Epilog -> (Table[{Thick, Opacity[0.8], colors[[i]], 
          Line[{{p[[i, 1]], p[[i, 1]]}, {p[[i, 1]], p[[i, 2]]}, 
            {p[[i, 2]], p[[i, 2]]}}]}, {i, Length[p]}] // Flatten), 
      AxesLabel -> {Subscript["x","n"], Subscript["x","n+1"]}, 
      PlotLabel -> "cobweb plot", 
      ImageSize -> 500]];
      koeningLemeray[s,0.1]


                                                .md Ας επαληθεύσουμε την κατανομή της κάνοντας το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων από $2000$ τιμές της ακολουθίας $x_{n+1}=s(x_n)$, σχεδιάζοντας ταυτόχρονα και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=2x$.

Ας επαληθεύσουμε την κατανομή της κάνοντας το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων από $2000$ τιμές της ακολουθίας $x_{n+1}=s(x_n)$, σχεδιάζοντας ταυτόχρονα και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=2x$.


                                                 seq[0] = 0.1;
seq[n_] := seq[n] = s[seq[n-1]]
t = Table[seq[n],{n,0,2000}];
Show[Histogram[t,Automatic,"PDF"],Plot[2x,{x,0,1}]]


                                                 .md Παρατηρούμε ότι σχεδόν ταυτίζεται με την γραφική παράσταση της $f(x)=2x$.

Ας πάμε να βρούμε το ντετερμινιστικό μοντέλο του τύπου ΙΙ.

Παρατηρούμε ότι σχεδόν ταυτίζεται με την γραφική παράσταση της $f(x)=2x$. Ας πάμε να βρούμε το ντετερμινιστικό μοντέλο του τύπου ΙΙ.


                                                   Clear["Global`*"]
f[x_] := 2x
eq2 = Integrate[f[t],{t,0,s2}]==Integrate[f[t]+f[t+1/2],{t,0,x}];
Solve[eq2,s2]


                                                   .md Κρατάμε τη μη αρνητική εκδοχή ($s_1(x)=\sqrt{x(1+2x)}$) κι εξάγουμε τον τύπο της $s$ (έστω $s_2$) για $x>\frac{1}{2}$ μέσω της σχέσης περιοδικότητας $s(x+\frac{1}{2})=s(x)$. Οπότε έχουμε $s_2(x)=s_1(x-\frac{1}{2})$. Ακολουθεί η γραφική παράσταση της $s$ και το διάγραμμα König-Lémeray της παραγόμενης ακολουθίας, για αρχική τιμή $x_0=0.1$ και $50$ επαναλήψεις.

Κρατάμε τη μη αρνητική εκδοχή ($s_1(x)=\sqrt{x(1+2x)}$) κι εξάγουμε τον τύπο της $s$ (έστω $s_2$) για $x>\frac{1}{2}$ μέσω της σχέσης περιοδικότητας $s(x+\frac{1}{2})=s(x)$. Οπότε έχουμε $s_2(x)=s_1(x-\frac{1}{2})$. Ακολουθεί η γραφική παράσταση της $s$ και το διάγραμμα König-Lémeray της παραγόμενης ακολουθίας, για αρχική τιμή $x_0=0.1$ και $50$ επαναλήψεις.


                                                    s[x_] := Which[x<=1/2,Sqrt[x(1+2x)],x>1/2,Sqrt[2x(x-1/2)]]
Plot[s[x],{x,0,1}, PlotRange->{{0,1},{0,1}}]


                                                    a=0;
b=1;
webPlot[x0_] := 
  Module[{f}, 
    f[x_] := s[x];
    seq = NestList[f, x0, n];
    p = Join @@ ({{#, #}, {##}} & @@@ Partition[seq, 2, 1]);
    Plot[{f[x], x}, {x, a, b}, 
      PlotRange -> {a, b},
      Epilog -> {Thick, Opacity[0.6], Line[p]}, 
      ImageSize -> 500]];
n=50;
koeningLemeray[s,0.1]


                                                    .md Τέλος, ας επαληθεύσουμε την κατανομή της κάνοντας το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων από $2000$ τιμές της ακολουθίας $x_{n+1}=s(x_n)$, σχεδιάζοντας ταυτόχρονα και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=2x$.

Τέλος, ας επαληθεύσουμε την κατανομή της κάνοντας το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων από $2000$ τιμές της ακολουθίας $x_{n+1}=s(x_n)$, σχεδιάζοντας ταυτόχρονα και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=2x$.


                                                     seq[0] = 0.1;
seq[n_] := seq[n] = s[seq[n-1]]
t = Table[seq[n],{n,0,2000}];
Show[Histogram[t,Automatic,"PDF"],Plot[2x,{x,0,1}]]


                                                     .md # Μέθοδος Pingel

Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε μια άλλη μέθοδο επίλυσης του αντιστρόφου του προβλήματος Frobenius-Perron, η οποία βασίζεται στο:

*D. Pingel, P. Schmelcher, F. K. Diakonos, Theory and examples of the inverse
Frobenius-Perron problem for complete chaotic maps, Chaos, Vol. 9, No. 2, 1999.*

Θα ξεκινήσουμε και σε αυτή την περίπτωση με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $f(x)=2x$.

Η μέθοδος Pingel ξεκινά διαλέγοντας αυθαίρετα ένα σημείο $x_0$ στο οποίο η συνάρτηση $s$ θα παρουσιάζει μέγιστο. Ακολούθως διαλέγουμε πάλι αυθαίρετα μια φθίνουσα και τμηματικά διαφορίσιμη συνάρτηση $h:[0,x_0]\to[x_0,1]$, για την οποία θα ισχύει $h(0)=1$ και $h(x_0)=x_0$. Εδώ διαλέξαμε μια γραμμική, δηλαδή:

$$
h(x)=\left(1-\frac{1}{x_0}\right)x+1
$$

Αν $F$ η συνάρτηση κατανομής, τότε πρέπει να βρούμε την $F^{-1}$. Εν προκειμένω η $F$ είναι η:

Μέθοδος Pingel

Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε μια άλλη μέθοδο επίλυσης του αντιστρόφου του προβλήματος Frobenius-Perron, η οποία βασίζεται στο: *D. Pingel, P. Schmelcher, F. K. Diakonos, Theory and examples of the inverse Frobenius-Perron problem for complete chaotic maps, Chaos, Vol. 9, No. 2, 1999.* Θα ξεκινήσουμε και σε αυτή την περίπτωση με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $f(x)=2x$. Η μέθοδος Pingel ξεκινά διαλέγοντας αυθαίρετα ένα σημείο $x_0$ στο οποίο η συνάρτηση $s$ θα παρουσιάζει μέγιστο. Ακολούθως διαλέγουμε πάλι αυθαίρετα μια φθίνουσα και τμηματικά διαφορίσιμη συνάρτηση $h:[0,x_0]\to[x_0,1]$, για την οποία θα ισχύει $h(0)=1$ και $h(x_0)=x_0$. Εδώ διαλέξαμε μια γραμμική, δηλαδή: $$ h(x)=\left(1-\frac{1}{x_0}\right)x+1 $$ Αν $F$ η συνάρτηση κατανομής, τότε πρέπει να βρούμε την $F^{-1}$. Εν προκειμένω η $F$ είναι η:


                                                              Clear["Global`*"]
f[x_] := 2x
h[x_] := (1-1/x0)x+1
fInt[x_] := Integrate[f[t],{t,0,x}]
fInt[x]


                                                              .md Άρα η αντίστροφή της, θα είναι η:

Άρα η αντίστροφή της, θα είναι η:


                                                               Solve[fInt[y]==x,y]


                                                               .md Κρατάμε τη θετική περίπτωση, δηλαδή $F(x)=\sqrt{x}$ κι έτσι η $s$ που ψάχναμε είναι:

- $s(x)=F^{-1}\left(F(x)-F\left(h(x)\right)+1\right)$, αν $x\in[0,x_0)$
- $s(x)=F^{-1}\left(F\left(h^{-1}(x)\right)-F(x)+1\right)$, αν $x\in[x_0,1]$

Συνεπώς, αν βρούμε την $h^{-1}$, έχουμε τελειώσει. Αυτή είναι η:

Κρατάμε τη θετική περίπτωση, δηλαδή $F(x)=\sqrt{x}$ κι έτσι η $s$ που ψάχναμε είναι: - $s(x)=F^{-1}\left(F(x)-F\left(h(x)\right)+1\right)$, αν $x\in[0,x_0)$ - $s(x)=F^{-1}\left(F\left(h^{-1}(x)\right)-F(x)+1\right)$, αν $x\in[x_0,1]$ Συνεπώς, αν βρούμε την $h^{-1}$, έχουμε τελειώσει. Αυτή είναι η:


                                                                   InverseFunction[h][x]


                                                                   .md Συνεπώς, για $x\in[0,x_0)$ η $s(x)$ θα είναι:

Συνεπώς, για $x\in[0,x_0)$ η $s(x)$ θα είναι:


                                                                    hI[x_] := x0(x-1)/(x0-1)
fIntInv[x_] := Sqrt[x]
fIntInv[fInt[x]-fInt[h[x]]+1]//Simplify


                                                                    .md Ενώ για $x\in[x_0,1]$ η $s(x)$ θα είναι:

Ενώ για $x\in[x_0,1]$ η $s(x)$ θα είναι:


                                                                     fIntInv[-fInt[x]+fInt[hI[x]]+1]//Simplify


                                                                     .md Διαλέγοντας $x_0=\frac{2}{5}$ έχουμε μια παραπλήσια μορφολογικά συνάρτηση $s$ με αυτήν που εξήγαγε η μέθοδος Koga.

Διαλέγοντας $x_0=\frac{2}{5}$ έχουμε μια παραπλήσια μορφολογικά συνάρτηση $s$ με αυτήν που εξήγαγε η μέθοδος Koga.


                                                                      x0 = 2/5;
s[x_] := Which[0<=x<=x0,fIntInv[fInt[x]-fInt[h[x]]+1],x0<x<=1,fIntInv[-fInt[x]+fInt[hI[x]]+1]]
Plot[s[x],{x,0,1}]


                                                                      .md Και πάλι θα προσπαθήσουμε να επαληθεύσουμε πειραματικά τα αποτελέσματά μας με ένα ιστόγραμμα. Ξεκινάμε με πρώτο όρο το $0.7$ και φτιάχνουμε το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων των $2000$ πρώτων όρων.

Και πάλι θα προσπαθήσουμε να επαληθεύσουμε πειραματικά τα αποτελέσματά μας με ένα ιστόγραμμα. Ξεκινάμε με πρώτο όρο το $0.7$ και φτιάχνουμε το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων των $2000$ πρώτων όρων.


                                                                       seq[0] = 0.1;
seq[n_] := seq[n] = s[seq[n-1]]
tt = Table[seq[n],{n,0,2000}];
Show[Histogram[tt,Automatic,"PDF"],Plot[2x,{x,0,1}]]


                                                                       .md # Επέκταση μεθόδου Pingel σε πεπερασμένο διάστημα $[a,b]$

Στην ενότητα αυτή, όπως δηλώνει κι ο τίτλος, θα επιχειρήσουμε να γενικεύσουμε την προαναφερθείσα μέθοδο και σε διαστήματα πέραν του $[0,1]$. Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι ενδιαφερόμαστε για τη συνάρτηση $s$, η οποία παράγει τιμές ομοιόμορφα κατανεμειμένες σε κάποιο διάστημα $[a,b]$, δηλαδή είναι $f(x)=\frac{1}{b-a}$. Προς τούτο:

- διαλέγουμε αυθαίρετα σημείο $x_0\in(a,b)$ ως υποψήφια θέση μεγίστου,
- ορίζουμε αυθαίρετη φθνίνουσα και τμηματικά λεία συνάρτηση $h:[a,x_0]\to[x_0,b]$ τέτοια, ώστε $h(a)=b$ και $h(x_0)=x_0$.

Και σε τούτη την ενότητα θα επιλέξουμε η $h$ να είναι γραμμική, επομένως θα είναι η:

Επέκταση μεθόδου Pingel σε πεπερασμένο διάστημα $[a,b]$

Στην ενότητα αυτή, όπως δηλώνει κι ο τίτλος, θα επιχειρήσουμε να γενικεύσουμε την προαναφερθείσα μέθοδο και σε διαστήματα πέραν του $[0,1]$. Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι ενδιαφερόμαστε για τη συνάρτηση $s$, η οποία παράγει τιμές ομοιόμορφα κατανεμειμένες σε κάποιο διάστημα $[a,b]$, δηλαδή είναι $f(x)=\frac{1}{b-a}$. Προς τούτο: - διαλέγουμε αυθαίρετα σημείο $x_0\in(a,b)$ ως υποψήφια θέση μεγίστου, - ορίζουμε αυθαίρετη φθνίνουσα και τμηματικά λεία συνάρτηση $h:[a,x_0]\to[x_0,b]$ τέτοια, ώστε $h(a)=b$ και $h(x_0)=x_0$. Και σε τούτη την ενότητα θα επιλέξουμε η $h$ να είναι γραμμική, επομένως θα είναι η:


                                                                           Clear["Global`*"]
f[x_] := 1/(b-a)
h[x_] := (x0-b)(x-a)/(x0-a)+b
h[x]//Simplify


                                                                           .md Ακολούθως βρίσκουμε την $h^{-1}$:

Ακολούθως βρίσκουμε την $h^{-1}$:


                                                                            hI[x_] := InverseFunction[h][x]
hI[x]


                                                                            .md και την συνάρτηση κατανομής $F$:

και την συνάρτηση κατανομής $F$:


                                                                             fInt[x_] := Integrate[f[t],{t,a,x}]
fInt[x]


                                                                             .md όπως και την αντίστροφή της $F^{-1}$:

όπως και την αντίστροφή της $F^{-1}$:


                                                                              fIntInv[x_] := InverseFunction[fInt][x]
fIntInv[x]


                                                                              .md η $s$ που ψάχναμε είναι ομοίως με πριν:

- $s(x)=F^{-1}\left(F(x)-F\left(h(x)\right)+1\right)$, αν $x\in[a,x_0)$
- $s(x)=F^{-1}\left(F\left(h^{-1}(x)\right)-F(x)+1\right)$, αν $x\in[x_0,b]$

Άρα για $x\in[a,x_0)$ αυτή θα είναι:

η $s$ που ψάχναμε είναι ομοίως με πριν: - $s(x)=F^{-1}\left(F(x)-F\left(h(x)\right)+1\right)$, αν $x\in[a,x_0)$ - $s(x)=F^{-1}\left(F\left(h^{-1}(x)\right)-F(x)+1\right)$, αν $x\in[x_0,b]$ Άρα για $x\in[a,x_0)$ αυτή θα είναι:


                                                                                  fIntInv[fInt[x]-fInt[h[x]]+1]//Simplify


                                                                                  .md ενώ για $x\in[x_0,b]$ αυτή θα είναι:

ενώ για $x\in[x_0,b]$ αυτή θα είναι:


                                                                                   fIntInv[-fInt[x]+fInt[hI[x]]+1]//Simplify


                                                                                   .md Συγκεκριμενοποιώντας $a=1$, $b=4$ κι επιλέγοντας το $x_0$ στο $\frac{1}{3}$ του διαστήματος $[a,b]$ έχουμε την κάτωθι γραφική παράσταση για την $s$:

Συγκεκριμενοποιώντας $a=1$, $b=4$ κι επιλέγοντας το $x_0$ στο $\frac{1}{3}$ του διαστήματος $[a,b]$ έχουμε την κάτωθι γραφική παράσταση για την $s$:


                                                                                    a=1;
b=4;
q = 1/3;
x0 = a+q(b-a);
s[x_] := Which[a<=x<=x0,fIntInv[fInt[x]-fInt[h[x]]+1],x0<x<=b,fIntInv[-fInt[x]+fInt[hI[x]]+1]]
Plot[s[x],{x,a,b}, PlotRange->{{a-(b-a)/10,b+(b-a)/10},{a-(b-a)/10,b+(b-a)/10}}]


                                                                                    .md Τέλος, στα πλαίσια επαλήθευσης της διαδικασίας, δημιουργούμε $2000$ όρους της ακολουθίας $x_{n+1}=s(x_n)$ με αρχική τιμή το μέσον του διαστήματος $[a,b]$ και καλούμε τη συνάρτηση `FindDistribution` του Mathematica να την αναγνωρίσει.

Τέλος, στα πλαίσια επαλήθευσης της διαδικασίας, δημιουργούμε $2000$ όρους της ακολουθίας $x_{n+1}=s(x_n)$ με αρχική τιμή το μέσον του διαστήματος $[a,b]$ και καλούμε τη συνάρτηση `FindDistribution` του Mathematica να την αναγνωρίσει.


                                                                                     p = 1/2;
seq[0] = a+p(b-a);
seq[n_] := seq[n] = s[seq[n-1]];
FindDistribution[Table[seq[n], {n, 0, 2000}]]


                                                                                     .md Το Mathematica ανίχνευσε ότι έχουμε ομοιόμορφη κατανομή με παραμέτρους $a\approx 1$ και $b\approx 4$, όπως όφειλε.


                                                                                     Control

Το Mathematica ανίχνευσε ότι έχουμε ομοιόμορφη κατανομή με παραμέτρους $a\approx 1$ και $b\approx 4$, όπως όφειλε.


                                                                                      .md # Γενίκευση Pingel (στο $0,+\infty$)